3.2.1.1 Modèle 1 glm1

On réalise l’analyse statistique sur les données brutes et non sur les données groupées par classe d’âge pour éviter de masquer la variabilité de la fécondité annuelle entre individus.
Le premier modèle appliqué est un modèle glm qui utilise la fonction de lien binomial afin de prendre en compte le fait que la variable réponse soit une variable binomiale.
La variable “id” est désignée comme variable aléatoire pour tenir compte du fait que les observations sont répétées sur les mêmes individus sur plusieurs années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1601.2   1616.5   -797.6   1595.2     1216 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.8934 -1.1311  0.6397  0.7592  1.0459 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2843   0.5332  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  0.88399    0.17400   5.081 3.76e-07 ***
## age         -0.03981    0.01688  -2.358   0.0184 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##     (Intr)
## age -0.905

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1601. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion importante observée.
Pour pouvoir interpréter les coefficients, il faut prendre en compte la fonction de lien. En calculant l’inverse de la fonction logit, on obtient le coefficient qui permet d’exprimer la fécondité annuelle en fonction de l’âge. Ce coefficient = (1/exp(x)-1)*100 car l’odd-ratio est < 1. Il est 4.06% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque leur âge augmente d’un an (p value<0.02).

3.2.1.2 Modèle 2 glm2

On ajoute la variable “year” comme variable aléatoire au modèle glm1 pour prendre en compte le fait que les individus sont suivis sur les mêmes années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1583.0   1603.4   -787.5   1575.0     1215 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.1300 -1.0339  0.5917  0.7282  1.4224 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3172   0.5632  
##  year   (Intercept) 0.1851   0.4303  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208; year, 26
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  0.97013    0.20191   4.805 1.55e-06 ***
## age         -0.04340    0.01754  -2.474   0.0133 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##     (Intr)
## age -0.811

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1583. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion importante observée. En calculant l’inverse de la fonction logit, on obtient le coefficient qui permet d’exprimer la fécondité annuelle en fonction de l’âge. Il est 4.44% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque leur âge augmente d’un an (p value<0.02).

L’AIC du modèle glm2 est < AIC du modèle glm1 donc, par la suite, les variables “year” et “id” sont conservées comme variables aléatoires.

3.2.1.3 Modèle 3 glm1q

Un modèle quadratique est testé par la suite pour prendre en compte la tendance de la ligne de régression observée sur les graphiques (via la fonction geom_smooth). Pour appuyer ce choix, sur le graphique qui représente les données groupées par âge, un modèle de type quadratique (courbe noire) est ajoutée et ce modèle semble bien ajusté aux données observées (points bleus)(cf figure 5 ci-dessous).

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age + I(age^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1496.3   1521.8   -743.2   1486.3     1214 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.5079 -0.8929  0.5018  0.6685  5.2068 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3540   0.5950  
##  year   (Intercept) 0.2566   0.5066  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208; year, 26
## 
## Fixed effects:
##              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept) -2.005000   0.392488  -5.108 3.25e-07 ***
## age          0.690386   0.086746   7.959 1.74e-15 ***
## I(age^2)    -0.037416   0.004465  -8.381  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##          (Intr) age   
## age      -0.910       
## I(age^2)  0.836 -0.976
## optimizer (Nelder_Mead) convergence code: 0 (OK)
## Model failed to converge with max|grad| = 0.00647378 (tol = 0.002, component 1)
## Model is nearly unidentifiable: very large eigenvalue
##  - Rescale variables?

La variable âge est centrée normée car le modèle n’arrive pas à converger.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age_scale + I(age_scale^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1496.3   1521.8   -743.2   1486.3     1214 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.5079 -0.8929  0.5018  0.6685  5.2068 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3540   0.5950  
##  year   (Intercept) 0.2566   0.5066  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208; year, 26
## 
## Fixed effects:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)     1.179656   0.151563   7.783 7.07e-15 ***
## age_scale      -0.006016   0.074835  -0.080    0.936    
## I(age_scale^2) -0.588891   0.070277  -8.380  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr) ag_scl
## age_scale    0.076       
## I(ag_scl^2) -0.485 -0.113

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1496. Avec ce modèle, la dispersion calculée est de 1.2 donc il n’y a pas de surdispersion importante observée. L’AIC de ce modèle quadratique < l’AIC des modèles glm1 et glm2 donc le modèle quadratique est plus adapté comme attendu graphiquement. Une observation des coefficients associés aux termes âge et âge^2 indique que le terme “âge” n’est pas significatif dans la prédiction de la variable réponse (p value = 0.94) alors que la p value associée au terme “âge^2” < 0.01. La fonction carré est donc testée.

3.2.1.4 Modèle 4 glm1c

Le modèle carré est testé comme expliqué précedemment.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ I(age_scale^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1494.3   1514.7   -743.2   1486.3     1215 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.5094 -0.8914  0.5025  0.6684  5.1922 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3525   0.5937  
##  year   (Intercept) 0.2567   0.5067  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208; year, 26
## 
## Fixed effects:
##                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)     1.18061    0.15108   7.814 5.53e-15 ***
## I(age_scale^2) -0.58955    0.06975  -8.452  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr)
## I(ag_scl^2) -0.480

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1494. Avec ce modèle, la dispersion calculée est 1.2 donc il n’y a pas de surdispersion importante observée. Le modèle étant compliqué, il est difficile d’interpréter les coefficients car il faudrait prendre en compte l’effet de lien logit, le fait que la variable “age” ait été centrée normée et le fait qu’on ait appliqué un carré à la variable explicative. Par contre, on peut conclure que la variable “age_scale^2” a un bien un effet significatif et négatif sur la fécondité annuelle des chamois comme l’indique l’odd-ratio qui est <1 (0.55).

5.2.1.1 Modèle appliqué à la sous population suivie plus de 70%

Un modèle linéaire est appliqué pour les individus sélectionnés en vérifiant au préalable que la fécondité totale suit une loi normale.

La normalité de la variable est vérifiée donc un modèle linéaire est testé.

## 
## Call:
## lm(formula = feconditetotale ~ long, data = cham_long70)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.8092 -1.0853  0.1385  1.4126  3.1908 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -4.5842     1.2771  -3.589  0.00103 ** 
## long          0.8996     0.1090   8.256 1.24e-09 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.955 on 34 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6672, Adjusted R-squared:  0.6574 
## F-statistic: 68.16 on 1 and 34 DF,  p-value: 1.236e-09

L’analyse de la sortie du modèle est réalisée dans la sous-partie “Résultats”.

5.2.1.2 Modèle appliqué à la sous population suivie plus de 60%

Un modèle linéaire est appliqué pour les individus sélectionnés en vérifiant au préalable que la fécondité totale suit une loi normale.

La normalité de la variable est vérifiée donc un modèle linéaire est testé.

## 
## Call:
## lm(formula = feconditetotale ~ long, data = cham_long60)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.4364 -1.2538  0.0636  1.3005  4.0243 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -3.12906    0.93821  -3.335  0.00161 ** 
## long         0.75655    0.07755   9.756 3.67e-13 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.855 on 50 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6556, Adjusted R-squared:  0.6487 
## F-statistic: 95.17 on 1 and 50 DF,  p-value: 3.672e-13

L’analyse de la sortie du modèle est réalisée dans la sous-partie “Résultats”.

5.2.1.3 Résultats

Les deux modèles linéaires valident toutes les hypothèses requises:
-Normalité des résidus validée
-Homoscédasticité des résidus validée

Le modèle appliqué aux individus suivis sur au moins 60% de leur vie indique un effet significatif de la longévité (p value < 0.01) sur la fécondité totale avec une augmentation de 0.76 individus par point de longévité supplémentaire (R2>0.65).
Le modèle appliqué aux individus suivis sur au moins 70% de leur vie indique un effet significatif de la longévité (p value < 0.01) sur la fécondité totale avec une augmentation de 0.90 individus par point de longévité supplémentaire (R2>0.66).
En utilisant deux sous échantillons de la population pour prendre en compte le fait que la plupart des individus sont suivis sur une petite partie de leur vie seulement et qu’il est donc difficile d’avoir accès à leur fécondité totale, on observe un effet significatif de la variable “longévité” sur la fécondité totale des chamois.
Ainsi, plus les chamois vivent longtemps, plus ils ont une chance d’avoir des petits et ce malgré l’impact de la variable “age” sur la fécondité annuelle.

6.2.1.1 Premier modèle

Le premier modèle appliqué est un modèle glm qui utilise la fonction de lien binomial afin de prendre en compte le fait que la variable réponse soit une variable binomiale. Les variables “id” et “year” sont désignées comme variables aléatoires pour tenir compte du fait que les observations sont répetées sur les mêmes individus sur plusieurs années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ long + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1095.7   1114.6   -543.8   1087.7      827 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.9453 -1.0366  0.6092  0.7325  1.1869 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.43475  0.6594  
##  year   (Intercept) 0.04156  0.2039  
## Number of obs: 831, groups:  id, 155; year, 25
## 
## Fixed effects:
##              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)  0.514760   0.336411   1.530    0.126
## long        -0.001207   0.024977  -0.048    0.961
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##      (Intr)
## long -0.946

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle = 1096. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion importante observée. Avec ce modèle, la p value associé à l’impact de la variable “longévité” sur la fécondité annuelle est de 0.96 donc l’effet de la longévité sur la variable réponse n’est pas significatif.

6.2.1.2 Second modèle

Dans le second modèle, on ajoute la variable “age” comme variable explicative pour prendre en compte le fait que l’âge a un effet négatif sur la fécondité annuelle et peut masquer l’effet de la variable longévité.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ long + age + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1074.2   1097.8   -532.1   1064.2      826 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.7797 -1.0072  0.5581  0.7662  1.2064 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.386743 0.62189 
##  year   (Intercept) 0.005599 0.07483 
## Number of obs: 831, groups:  id, 155; year, 25
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  0.41539    0.32244   1.288 0.197658    
## long         0.11497    0.03425   3.357 0.000789 ***
## age         -0.14143    0.02970  -4.761 1.92e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##      (Intr) long  
## long -0.701       
## age   0.037 -0.706

L’AIC de ce modèle est de 1074. Avec ce modèle, la dispersion calculée est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion importante observée. L’AIC de ce modèle 2 < l’AIC du modèle 1 donc ce modèle permet de mieux expliquer la variance des données.

En prenant en compte l’effet additif des variables “âge” et “longévité” sur la fécondité annuelle, on obtient des effets contraires associés avec des p value < 0.01.

Il est 15.19% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque leur âge augmente d’un an (p value<0.01) et il est 1.12% plus vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque leur longévité augmente d’un an (p value<0.01). La taille de l’effet associé avec la variable “long” est faible.

7.1.3.1 Prise en compte du biais apporté par le nombre d’années de suivi

Pour avoir un échantillon d’au moins 30 individus, il faut descendre à un ratio années de suivi/longévité< 0.4 ce qui est beaucoup trop faible pour avoir une représentation fiable de la fécondité totale.
Etant donné qu’on ne peut avoir accès à la variable fécondité totale pour cette question sur un échantillon significatif, l’effet du poids sur la fécondité totale ne peut être évalué.

7.1.3.2 Modèles de régression lineaire généralisé avec effets aléatoires

L’impact du poids sur la fécondité annuelle est tout de même testé avec un modèle glm qui utilise la fonction de lien binomial afin de prendre en compte le fait que la variable réponse soit une variable binomiale. Les variable “id” et “year” sont utilisées comme variables aléatoires.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ pds + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2_tri
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##    768.8    786.2   -380.4    760.8      578 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.7883 -1.1124  0.6442  0.7416  1.4241 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.09131  0.3022  
##  year   (Intercept) 0.29407  0.5423  
## Number of obs: 582, groups:  id, 115; year, 26
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)  0.16810    1.00244   0.168    0.867
## pds          0.01829    0.04353   0.420    0.674
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##     (Intr)
## pds -0.989

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 769. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion importante observée. La p value associée à l’effet “poids” sur la fécondité annuelle est >0.1 et la taille de l’effet est faible (1.02% plus vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque leur poids augmente d’un kg).

7.1.3.3 Résumé des résultats.

Le poids n’a donc pas d’impact significatif sur la fécondité annuelle des chamois.